时间序列之间的回归 2012-05-05
上图是两个独立的模拟时间序列。可能会很容易认为红线和黑线二者有依赖关系，尤其是线性回归还支持这一结论（如下图）。而真实原因是因为他们都是时间序列！如果做相关性检验则只考虑了他们距离零点的距离，不确定性被低估了，同样会得出二者“相关”的错误结论。你可能会觉得很奇怪，虽然上面的例子暗示出二者很强的相关性，却明明是独立的（如下面R的例子，使我们造出来的独立）。实际上这就涉及到了统计学为什么引入时间序列的意义。当模型是时间的函数和一个普通的噪声叠加时，普通的统计回归就够用了，此谓显式时间依赖。当一个时间点与另外时间点所发生的存在依赖性时，是时间序列才能处理的问题，就是所谓的隐式时间依赖。“时间序列之间的回归”告诉我们：有些事情你回归不了。
这是一个用R写的例子：
n=100 # 观测的数量 a=0.99 # 自相关系数 mu=1 # 期望 sigma=1 # 标准差 tau=sigma*sqrt(1-a^2) # 标准差 # 序列一 x=array(NA,n) x[1]=rnorm(1,mu,sigma) for(i in 2:n) x[i]=a*x[i-1]+(1-a)*mu+rnorm(1,0,tau) # 序列二 y=array(NA,n) y[1]=rnorm(1,mu,sigma) for(i in 2:n) y[i]=a*y[i-1]+(1-a)*mu+rnorm(1,0,tau) # 画出二者后看起来有相关性？实际独立。 plot(1:n,x,type="l",ylim=c(min(c(x,y)),max(c(x,y)))) lines(1:n,y,col="red") # 直接画散点图看 plot(x,y,cex=0.9) # 用线性模型拟合居然也是显著的 linreg=lm(y~x) abline(linreg,cex=1.5) summary(linreg) #Call: #lm(formula = y ~ x) # #Residuals: # Min 1Q Median 3Q Max #-0.70823 -0.19115 -0.03474 0.19931 0.93094 # #Coefficients: # Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) #(Intercept) 1.37361 0.05864 23.424 < 2e-16 *** #x -0.30180 0.06566 -4.597 1.28e-05 *** #--- #Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 # #Residual standard error: 0.351 on 98 degrees of freedom #Multiple R-squared: 0.1774, Adjusted R-squared: 0.169 #F-statistic: 21.13 on 1 and 98 DF, p-value: 1.282e-05