概率论感觉测试（转）

概率论感觉测试（转） 2012-05-15

概率论感觉测试（一）

假设考试周为1个礼拜（周一到周日），且考试时间为均匀分布，假使你有3门考试，则最后一门考试大约在 A 周五 B 周六 C 周日

Answer: B. 一般的讲在[0,1]之间n个均匀分布的随机变量最大值期望为n/(n+1),也就是可以认为这n个随机变量分别大约在 1/(n+1),2/(n+1),…,n(n+1)。这道题那么算一下大概就是在周六的上午。

如果你去参与一项赌博，每次的回报为正态分布，假设你赌了100把发现赢了10000块（明显是很小概率事件，但假设确实发生了），那么你觉得你最有可能是因为

A 有一把赢了巨多 B 一直在慢慢的赢 C 两种情况都有可能

Answer: B. 也许答案对很多人有些出乎意料。在这种情况下，可能有人觉得能够连续赢很多把很难，但是实际上赢一把大的更难。这个问题是随机问题中的长尾和短尾的问题。长尾的意思就是取大的值的概率不是很小，而短尾正好相反。但是题目中的正态分布属于短尾，因为密度函数是指数下降的，如果稍微改一下题目中的分布，则有可能是因为一次赢了很大而最后赢的。另外说一句，有一本书叫《长尾理论》，里面说明了现在的经济中有很多东西是长尾的，比如说一年销量排在100000名之后的歌曲仍然能占据市场的一部分。这是电子商务流行的很重要原因，因为不必支付储存这个长尾的cost。

有一根密度不均匀的绳子，你想通过测量多点的密度来估计他的重量（你知道截面积）。则如果给你n次测量密度的机会的话，如果n很大，（估算质量就通过这些点取平均然后乘以截面积）

A 按规律等间隔选取测量点会测得准些 B 随机选取测量点会测得准些 C 两种方法差不多

Answer: A. 也许这个也略有些意外。对于一维的情况，方法A略好于方法B。但是在高维的情况下方法A就一般情况下不如方法B了，原因是要想获得相同的效果，这个“有规律的点”需要选取太多。这是所谓的Quasi-Monte Carlo Sampling 和 Monte Carlo Sampling之间的关系

台湾大选，假定马英九最终得到600000票，谢长廷得到400000票，如果一张一张的唱票，则过程中马英九一直领先谢长廷的概率为

A 0.1 B 0.2 C 0.3 D 0.4

Answer: B. 直觉上讲这个概率并不会太大，而且尤其是在前面几张的时候多少会出现一些反复。实际上这个结果跟一共多少人投票没什么关系，如果得票比例为a:b(a>b),则这个概率为(a-b)/(a+b)。

你拿10块钱去赌场赌大小，你有两种玩法，一种是每次赌10块，一种每次赌1块，你决定都是输光或者赢到100块就走，则

A 两种方法输光的概率一样 B 第一种输光的概率较大 C 第二种输光的概率较大

Answer: A. 不管什么赌法都不会改变这个概率。我认为这是随机过程中一个比较简单但是很有意义的结论，意思就是说you can’t beat the system。这件事情说明了对于像股市，赌博这种系统，如果你假设了随机性，则其实怎么操作结果都是一样的。因此重要的在于发掘其中的非随机性。另外，到100的概率很容易计算，因为初始值是10，假设到100的概率为p，则有100p*0(1-p)=10，也即p=0.1

100个球随机的放在100个箱子里，最后空箱子的数量大约是

A. 0-0.1 B. 0.1-0.2 C. 0.2-0.3 D. 0.3-0.4

Answer: D.这个题可以用简单的概率论计算。结论是不管多少个球，c*n个球放到n个箱子里，最后空箱子的个数约为e^-c，现在的情况是箱子数和球数一样多，那么就约为e^-1.

7、打10000副拱猪，总共持有9500-10500个A的概率大约在

A. 80%-90% B. 90%-95% C. 95%-99% D. 99%以上

Answer: D. 这个可以用中心极限定理计算。事实上这个题也不需要计算，只是要考察大家的一个感觉，实际上这个概率大于0.99…9，一共有9个9，尽管有时候我们打牌仍然觉得牌总是很差。。只是我们不注意我们抓好牌的时候罢了。

有以下几个国家，每个国家有自己的习俗。问哪个国家长期以后男人最多

A. 每个家庭不断的生孩子直到得到第一个男孩为止 B. 每个家庭不断的生孩子直到得到第一个女孩为止 C. 每个家庭不断的生孩子直到得到一男一女为止 D. 以上几个国家最后男女比例基本一样

Answer: D. 我们只需要考察一个家庭最后产生多少男女即可以。用概率的方法可以得到不管哪个方法都是1:1。事实上，我们只是把一个很长的男女的序列按照不同的方式来截断。当然这个序列本上包含多少男女是不变的。我每次都愿意以另外一个例子来说明，那就是如果我们在网上下棋，可以每天下到第一盘输为止或是第一盘赢为止或是有输有赢为止，显然不管怎样，因为你的实力是恒定的，你永远都是你本来应有的胜率。

实验室测试灯泡的寿命。在灯泡坏的时候立刻换新灯泡。灯泡寿命约为1小时。考察10000小时时亮着的那个灯泡

A. 那个灯泡的寿命期望也约为1小时 B. 那个灯泡的寿命期望约为其他灯泡的2倍 C. 那个灯泡的期望寿命约为其他灯泡的1/2 D. 以上说法都不对

Answer: B. 这个题可能稍难。如果具体的算需要一点本科高年级的知识。不过我们仍然可以从直觉得到结果。事实上，当每个灯泡或是我们观测的事物的生命是随机的时候。在时间足够久以后的一点，那个事物的寿命要长于这个事物本身平均的寿命。因为正是因为它寿命长导致我们容易观测到。简单的说，如果灯泡有两种，一种只能坚持 1小时，一种能坚持100小时，那我们在后面观测到的99%都可能是100小时那个。所以观测到的平均寿命较长。通常我们认为灯泡的寿命是指数分布的，在这个情况下，答案是2倍。对于一般的分布，甚至有可能平均寿命有限，而观测的那个寿命期望是无限的。这个问题在美国一次监狱调查中被发现，即被调查的囚犯的平均判刑年数要远大于全美平均判刑的年数

如果一个群体里，每个个体以0.2的概率没有后代，0.6的概率有1个后代，0.2的概率有两个后代，则

A. 这个群体最后会灭绝 B. 这个群体最后将稳定在一个分布，即种群大小在一定范围内震荡 C. 这个群体最后将爆炸，人口将到无穷 D. 不一定会发生什么

Answer: A. 这是个简单的人口模型。这个可能直觉比较困难，但是这个实际上和后面的一道题道理是一样的。注意到每一代的期望总是1。因此根据上次的答案，这个群体最后会灭绝。对于这种模型，当每一代的期望小于等于1时，最后的结果都是会灭绝。对于期望大于1的情况，我们也可以很简单的通过解方程得到灭绝的概率。

给一个1-n的排列，与原来位置相同的数字的个数的期望大约是（如 n=5 则51324 与原来位置只有3是相同的）

A. 1 B. log n C. ln n

Answer: A. 这个题要去算有几个相同的概率是比较难的，不过实际上有一个很简单的方法。在第1个位置，这个排列的第1个数字为1的概率为1/n，而期望是可加的，所以总共与原来位置相同的数字的个数的期望应该是1。也就是说不管是多少的数字，平均总是有一个数与顺序是相同的。这个题会非常经常出现在考试和习题中。

如果有3个门，有一个背后有大奖。你选中一个，主持人知道哪个门后面有奖，并且总会打开另外两个中的某个没奖的。现在你有一次换得机会，你应该

A. 换 B. 不换 C. 换不换都一样

Answer: A. 这个是网上非常经典的一个问题了。不换正确的概率是1/3，换正确得概率是2/3。我比较喜欢这样去想，试想一下如果有100个门，你先选定1个，然后主持人打开98个空的，然后给你机会换不换。我想如果这样，你不难做出正确的选择。

以下那件事情发生的期望时间最短

A. 在第0秒，一个物体从原点出发，每一秒以概率1/2向左走，1/2向右走，第一次回到原点的时间 B. 一只猴子，每秒种随便按键盘上的一个键，第一次打出”Beijing WelcomesYou”的时间 C. 在第0秒，一个物体从原点出发，每一秒以概率1/2向左走，1/2向右走，第一次到达1的时间

Answer: B. A和C两个事件发生的时间的期望都是+inf. 只有B是有限的。A和C说明了等概率的赌博不可能赢钱（如果C是有限的则参加赌大小的游戏总能赢钱了）。而B说明的是另外一条概率上的定理,”What always stands a reasonable chance of happening will almost surely happen, sooner rather than later”,也就是说从任何时刻开始，总有一个固定的概率发生的事情(比如一个猴子打出beijing welcomes you, 这个概率可能是 1/26^20左右)，不过这个概率是多少，这件事情早晚能发生。

14, 美国的25分硬币共有50种，上面有50个州的图案，如果我们每次得到的硬币是随机的，则大约收集多少可以收集全

A. 200 B. 300 C. 400 D. 500

Answer: A. 这是所谓的收集硬币问题。具体解法不是很容易。不过结论是要收集齐n种硬币，需要大约nlogn个。大约思路是收集第k个时候需要大约n/(n-k)次。平时我们收集一些食品里的卡片，也都遵循这个规律，不过多数时候每种卡片的数量都是很不同的。还记得小时候可乐里收集到苹果加蜡烛可以得到到头等奖，不过最后也没收集到任何一个苹果。

假设有1000次100m短跑大赛，每次比赛的冠军成绩都在9.7-10之间均匀分布，问期望有多少次比赛比赛能够破纪录

A. 7 B. 10 C. 15 D. 32

Answer: A. 这是所谓的破纪录问题。假设均匀分布,则最后n次比赛之后这n个成绩形成一个排列。第k次创纪录的概率是这个排列中第k个在前k-1个之前的概率，也即1/k，所以n次比赛大约有1+1/2+1/3+…1/n次破纪录，也即约为logn次。

在打桥牌的时候，如果你和对家共持有某门花色的9张牌，则剩余的4张牌怎样分布的概率最大

A. 2-2 B. 3-1 C. 4-0

Answer: B. 可以简单计算得到这个结果。3-1的概率应该是50%。2-2的概率是37.5%。4-0的概率是12.5%。但是如果有奇数张，则最平均的就是最可能的

如果一个物体在3维随机游动，也即每一刻他可以向左，右，上，下，前，后等概率的走，长久来看，则会发生什么情况

A. 此物体无穷多次回到原点 B. 此物体无穷多次回到任何一条坐标轴上，但不会无穷多次回到原点 C. 此物体不会无穷多次回到任何一条坐标轴上

Answer: B. 1维和2维的随机游动是常返的，也就是说会无穷多次回到起点（尽管回来的平均时间不是有限的），而3维以上的随机游动是非常返的。因此对于2维的某改革坐标，此物体会无穷多次经过，但是不会无穷多次经过原点。

扔10000次硬币，其中最长一次连着正面的次数大约会是多少

A. 100 B. 13 C. 9 D. 4

Answer: B.这也是一个特殊的概率问题，叫做Head Runs.答案应该是log_2^n.大约为13.

有一支股票，初始价为1，每天的价值变化率独立同分布，且期望为0，不恒为0。则

A. 股票在任何时刻期望价值为1 B. 股票以概率1变成0 C. A和B都对 D. A和B都不对

Answer: C.这个可以参见我转载的文章The Flaw of Average和我写的文章Life is a Martingale. 也就是说对于很多投机的东西，平均值总是不变的，但是多数人都会倾家荡产。其实仔细想想很有道理，比如说你的股票第一天涨10%。第二天跌10%或是第一天跌10%，第二天涨10%，最后的结果都是跌了1%。所以要保持增长所需要的是远大于0的平均变化率，这个才是一般人难以做到的。

当我们考虑一种可能重复发生的事件时，哪种方式更科学

A. 按照第一次发生这个事件的时间作为一个起点，考虑从其本身出发之后的性质 B. 按照最后一次发生这个事件的时间作为一个起点，考虑从其本身出发之后的性质 C. 以上都可以 D. 以上都不可以

Answer: A. 这个问题深一些的背景在于Kolmogorov向前向后微分方程。很多人知道向后微分方程更通用，但是并不知道原因。事实上，向后微分方程是基于A的方法对事件进行分解得到的，而向前微分方程是基于B的方法对事件进行分解的。但是有很多重复发生的事情会越发生越频繁，以致没有最后一次发生的事件。但是我们总能找到第一次发生的时间。所以A更科学。

概率论感觉测试（二）

1、 100个球随机的放在100个箱子里，最后空箱子的数量大约是 A. 0-0.1(0) B. 0.1-0.2(0) C. 0.2-0.3(0) D. 0.3-0.4(20)

Ans：D.这个题可以用简单的概率论计算。结论是不管多少个球，c*n个球放到n个箱子里，最后空箱子的个数约为e^-c，现在的情况是箱子数和球数一样多，那么就约为e^-1.

2、打10000副拱猪，总共持有9500-10500个A的概率大约在 A. 80%-90%(0) B. 90%-95%(0) C. 95%-99%(0) D. 99%以上(20)

Ans. D. 这个可以用中心极限定理计算。事实上这个题也不需要计算，只是要考察大家的一个感觉，实际上这个概率大于0.99…9，一共有9个9。不过有时候我们打牌仍然觉得牌总是很差。。

3、有以下几个国家，每个国家有自己的习俗。问哪个国家长期以后男人最多 A. 每个家庭不断的生孩子直到得到第一个男孩为止(0) B. 每个家庭不断的生孩子直到得到第一个女孩为止(0) C. 每个家庭不断的生孩子直到得到一男一女为止(0) D. 以上几个国家最后男女比例基本一样(20)

Ans. D. 我们只需要考察一个家庭最后产生多少男女即可以。用概率的方法可以得到不管哪个方法都是1:1。事实上，我们只是把一个很长的男女的序列按照不同的方式来截断。当然这个序列本上包含多少男女是不变的。我每次都愿意以另外一个例子来说明，那就是如果我们在网上下棋，可以每天下到第一盘输为止或是第一盘赢为止或是有输有赢为止，显然不管怎样，因为你的实力是恒定的，你永远都是你本来应有的胜率。

4、实验室测试灯泡的寿命，在灯泡不断的换新灯泡。灯泡寿命约为1小时。考察10000小时时亮着的那个灯泡 A. 那个灯泡的寿命期望也约为1小时(0) B. 那个灯泡的寿命期望约为其他灯泡的2倍(20) C. 那个灯泡的期望寿命约为其他灯泡的1/2(0) D. 以上说法都不对(0)

Ans. B. 这个题可能是这5个题里面稍难的。如果具体的算需要一点本科高年级的知识。不过我们仍然可以从直觉得到结果。事实上，当每个灯泡或是我们观测的事物的生命是随机的时候。在时间足够久以后的一点，那个事物的寿命要长于这个事物本身平均的寿命。因为正是因为它寿命长导致我们容易观测到。简单的说，如果灯泡有两种，一种只能坚持1小时，一种能坚持100小时，那我们在后面观测到的99%都可能是100小时那个。所以观测到的平均寿命较长。通常我们认为灯泡的寿命是指数分布的，在这个情况下，答案是2倍。对于一般的分布，甚至有可能平均寿命有限，而观测的那个寿命期望是无限的。这个问题在美国一次监狱调查中被发现，即被调查的囚犯的平均判刑年数要远大于全美平均判刑的年数

5、如果一个群体里，每个个体以0.2的概率没有后代，0.6的概率有1个后代，0.2的概率有两个后代，则 A. 这个群体最后会灭绝(20) B. 这个群体最后将稳定在一个分布，即种群大小在一定范围内震荡(0) C. 这个群体最后将爆炸，人口将到无穷(0) D. 不一定会发生什么(0)

Ans: A. 这是个简单的人口模型。这个可能直觉比较困难，但是这个实际上和上次的一道题是一样的。注意到每一代的期望总是1。因此根据上次的答案，这个群体最后会灭绝。对于这种模型，当每一代的期望小于等于1时，最后的结果都是会灭绝。对于期望大于1的情况，我们也可以很简单的通过解方程得到灭绝的概率。

概率论感觉测试（三）

1、1000枚硬币里有一个硬币两面都是国徽，其他的硬币都是一面是国徽，一面是数字。如果你从中选出了一个硬币，随机掷了10次，结果全部都是国徽，问这个硬币是那个两面都是国徽的概率大约有多大？

A: 99% B: 90% C: 75% D: 50%

Answer: D. 这个问题是一个比较简单的问题，只需要用Bayes公式计算一下即可。但是人们有时候感觉这个概率比实际中的大。类似的问题还出现在比如当你检测出来患有某种疾病的时候，假设检测错误的概率只有千分之一，但是如果那个患有那个疾病的人本身只有万分之一或者更少，则你实际得这种病的几率也要比10% 要略少。另外的一个情况我在我的另外一篇日志<<Do say love to her>>中也提到了。总的来说，人们通常更多的关注到了事情的变化，而忽略了一些事物的本质。

2、三国杀游戏里周泰的技能是当没有血的时候，可以从牌堆里抽取一张牌，如果和其前面的牌的数字都不同，则可以继续活着；否则就死了。假设牌堆里的牌是完全随机的一副扑克牌（52张一副牌），问期望他大约一共要抽多少张牌才能死？

A: 3-4张 B: 4-5张 C: 5-6张 D: 6-7张

Answer. C. 这个也没有什么算的技巧，只需要把各种情况列举一下即可得到大约需要5.7张牌。

3、接上题，如果玩家可以给周泰增加一个技能，叫做重生。即在抽取第k张牌时如果这张牌和以前的牌数字相同，则周泰获得满血。但是玩家必须在使用角色前声明k。如果你是玩家，你会声明k为多少（仍然假设是52张的一副牌）？

A. 4 B. 5 C. 6 D. others

Answer: B. 与上题的计算方法一样，k为5的时候最优，大约有17%的可能性可以获得重生。

3、一位篮球运动员罚球100次。已知他前两个球罚中了一个。从第3个球开始，他罚每一个球的命中率为其前面所罚所有球的命中率，比如他前50个球罚中了40个，则下一个球的命中率为80%。问以下哪种情况发生的可能性较大

A. 他最终罚中了50-60个球 B. 他最终罚中了60-70个球 C. 他最终罚中了70-80个球 D. 以上3个可能性一样

Answer: D. 这个题也许有人会认为他要么罚中很多球，要么罚中很少球，因为一旦开始罚中的多，则后面命中率会倾向于越来越高，反之亦然。但是实际上这名运动员最后罚中1-99个球的可能性都是相等的。简单的证明方法可以用数学归纳法。

4、接以前的收集硬币问题。美国共有50种25分的硬币，在上次的题中，我们已经求过收集全他们所需要的大约次数（假设每种硬币出现的概率相同）。现在假设你已经收集了80枚硬币，你期望大约已经收集了多少种？

A. 30 B. 35 C. 40 D. 45

Answer: C. 上次我们问过期望需要集多少个才可以集齐，答案大约是200个。实际上这个集的过程开始都是很快的，大约在40个的时候就用将近30种，在80个的时候有40种，而只有最后面几个需要很漫长的时间。这个公式是N-N(N-1/N)^n, 其中N是一共要收集的数目，n为已收集的数目。

5、假设在一根长为1米的绳子上随机的分布5只蚂蚁，他们的位置和初始的方向都是均匀随机的。从时刻0开始，他们朝着他们初始的方向以每分钟1米的速度开始爬，直到离开绳子或者碰到另外一只蚂蚁。当他们碰到另外一只蚂蚁时，两只蚂蚁会分别转向然后继续前进。问期望大约多少时间之后所有蚂蚁都将离开绳子?

A． 50秒 B． 1分钟 C． 2分钟 D． 5分钟

Answer: A. 从某种意义上来讲，这个题不能被认为是一道概率问题，因为其真正的难度不在于概率。似乎看起来这道题完全无法计算，因为你完全不知道每只蚂蚁的方向以及所处的位置，但是关键在于注意到当两只蚂蚁碰面时，虽然实际中他们互换了方向，但是从运动的角度来讲，可以认为两只蚂蚁继续保持了前进但互换了代号。所以这个题相当于在0-1之间有5个随机数，问其中最大的期望是多少。这个数为5/6，所以答案为A。

6、两个人玩一个硬币游戏。在游戏之前，第一个人选择一个长度为3的序列，比如说“国徽，国徽，数字”，在第一个人选择之后，另外一个人选择另外一个序列（必须是不同的）。在两个人都选定序列之后游戏开始。两个人反复掷硬币，直到一个人所选择的序列出现为止。出现所选择此序列的人获胜。问先选择的人如果做出最正确的选择大约可以有多大的可能性获胜？

A. 30% B. 50% C. 70% D. 90%

Answer: A. 也许有些人会对这个答案感到有些吃惊。先选的人居然如此吃亏。因为人们可能会认为，在这些序列中，有一个最优的序列，它出现的平均时间最早。这确实不错，但是序列之间不是独立的，也就是说如果A比B好，B比C好，并不一定能保证A比C好。比如第一个人选了“国徽，国徽，数字”这个序列，那我选择“数字，国徽，国徽”就可以保证在他这个序列出现之前的那3个情况中，我大约有1/2的概率可以获胜（也即在这个序列之前的那次硬币为数字即可）。这个题只能用Markov链去计算任何两个序列对抗时分别的获胜率，然后用博弈论的方法去求解。对于第一个人来说，最佳的选择可使他有1/3的概率获胜。

7、假设有100个人排队买一个5块钱的电影票，其中50个人只有5块钱，50个人只有10块钱。问电影院在整个过程中一直可以找开钱的可能性大约有多大？（注：这和在之前的测试中的台湾大选问题有一定的类似之处，但并不相同）

A. 1% B. 2% C. 5% D. 10%

Answer: B. 在上一系列的概率论感觉测试的题目中，我们问在整个过程中，某一方一直领先另一方的概率。这个题只要求一方（有5块钱的人）不落后另外一方（有10块钱的人）。这个的算法是需要用brownian motion的reflection principle。实际上的比例为从0开始每一步为-1,1运动最后停到-2的路径数除以停到0的路径数，为1/51.

假设你掷一枚硬币，问你期望需要掷大约多少次才能获得连续10个正面？

A. 100 次 B. 500 次 C. 1000 次 D. 2000 次

Answer: D. 在上一系列的概率论感觉测试中，我们说掷n次大概连续证明的数量为log_2^n.现在问的是要获得一定量的正面，需要掷多少次。结果比较接近但是仍然不是很相同，准确的数字为2^(k+1)-2，也就是2046次。简单的证明方法可以用数学归纳法。而比较推荐学过martingale的同学用martingale的方法证明：假设每一时刻有1个人来赌，如果正面，他的资金翻倍，否则就为0；当连续出现10个正面的时候，所有来赌的人的钱为2046。根据Optional Stopping Theorem, 所需要时间的期望也是2046。Martingale方法的好处是可以计算达到任何序列所需要的时间。

9．赌场里有这样一个游戏：你掷一枚色子。在任意时刻，如果6从来没有出现，你可以选择获得你所掷出的总点数或者继续；若6出现，则游戏结束，你获得0块钱。（比如，你掷出了2，3，5；则你可以选择立刻获得10块钱或继续，但是如果你下次掷出6你就什么都没有了，如果是其他你还可以继续）问这个游戏你的平均收益大概是多少（换句话说你愿意付多少钱去玩一次这样的游戏）？

A. $4 B. $6 C. $8 D. $10

Answer: B. 这个题需要用动态规划进行计算。这种动态规划在任何管理和金融的应用中都非常常见。准确地值大约为$6.15.

假设一个飞机上有100个座位。100名乘客中第一名乘客喝醉了酒，就随机在飞机上找了一个座位坐下。其他的乘客如果自己的座位没有被占，则会坐在自己的座位上，否则也将在剩余的座位上随机的找一个座位。问最后一名乘客坐在自己座位上的概率有多大？

A．50% B．10% C．5% D．1%

Answer: A. 这个题应该算比较经典的一道题目，但是并不能算是一道纯粹的概率题。这种类似于脑筋急转弯的题目需要人们能注意到一些简化的方法。思考的方法大约如下：对于第一名乘客，如果他恰好坐在自己的座位上，则最后一名乘客肯定也能坐在自己的座位上，如果他恰好坐在了最后一名乘客的作为上，那最后一名乘客无论如何也无法坐在自己的位子上，而这两个概率是相等的；对于其他情况，如果他坐了第k个乘客的座位，则从第2到第k-1个乘客，他们都会坐在自己的位子上，问题变相当于飞机一共有101-k个座位，第一个乘客（原来的第k个）随机选一个座位。这样递归下去可以得到不管有多少座位，以上的问题的概率都是1/2。

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