小议独立事件 2012-04-29

首先我们解决的问题是,为什么独立事件的定义就是满足P(AB)=P(A)*P(B)?这个等价性要从条件概率说起,我们知道事件AB独立的一个显著推论是B发生对A没影响即P(A|B)=P(A),而根据条件概率的算法P(A|B)=P(AB)|P(B),代入从而得证。

很容易计算出三个事件独立则一定两两独立。而一个概率论中很著名的反例是,有没有三个事件是两两独立却不相互独立的例子?

一均匀的正四面体,其中三面分别全部染上红,黄,蓝三色,最后一面上红黄蓝色皆有。在桌子上将此四面体任意掷一次,考察和桌面接触之后,桌子上面出现的颜色是什么。设事件A=红色,B=黄色,C=蓝色。则P(AB)=1/4=P(A)*P(B), 但P(ABC)=1/4>P(A)*P(B)*P(C).

在微博上转发了这个例子后,有同学追问说,有没有AB独立,BC独立,但是AC不独立的?

这里给出一个想法类似以上的例子,给正方形的四条边分别涂成蓝色、红色、黄蓝各半、黄红各半。选出任意一条边,设事件A=蓝色,B=黄色,C=红色。



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