解法1
引理A：\(\sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{n^2}}=\frac{\pi^2}{6}\)
引理B：若任意两个自然数互素的概率为p，则任意两个自然数最大公约数为k的概率为\(p*\frac{1}{k^2}\)
引理A来自数学分析。引理B的证明我们分为两点。
根据全概率公式，k是a,b最大的公因子的概率等于k是a,b公因子条件下k是a,b最大的公因子的概率。
又假设m乘以k等于a，n乘以k等于b，则m,n互素等价于k是a,b的最大公因子。
在k是a,b的公因子之前提下，m,n也等价于任意两个自然数，所以它们互素的概率为p。此其一。
对任意自然数k，则k为a,b的公因子的概率是\(\frac{1}{k^2}\)，即a,b同为k的倍数的概率。此其二。
根据引理B任意两个自然数不互素的概率为1-p，也就是说有大于2的最大公因子（不妨设为k）的概率。
对k取大于2的全部自然数有\(p*\frac{1}{2^2}+p*\frac{1}{3^2}+\ldots=1-p\)，变换即可。
解法2
设任意两个自然数为m,n,\(\{p_k\}\)为所有素数的集合。一个自然数有因子\(p_k\)的概率为\(\frac{1}{p_k}\)。
m,n同时有因子\(p_k\)的概率为\(\frac{1}{(p_k)^2}\)。所以m,n不同时有因子\(p_k\)的概率为\(1-\frac{1}{(p_k)^2}\)。
所谓的m,n互素，即对于所有的k，两者不同时有因子\(p_k\)。显然这个概率就是\(\prod_{k=1}^{\infty}(1-\frac{1}{(p_k)^2})\)
而上面这个乘积极限的倒数就等于\(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}\)，实际上这是因为
$$\frac{1}{1-\frac{1}{(p_1)^2}}=1+\frac{1}{(p_1)^2}+\frac{1}{(p_1)^4}+\ldots$$
$$\frac{1}{1-\frac{1}{(p_2)^2}}=1+\frac{1}{(p_2)^2}+\frac{1}{(p_2)^4}+\ldots$$
$$\vdots$$
$$\frac{1}{1-\frac{1}{(p_n)^2}}=1+\frac{1}{(p_n)^2}+\frac{1}{(p_n)^4}+\ldots$$
$$\vdots$$
将以上各式相乘（再加以极限的概念）得到的通项为
$$\frac{1}{p_{i_1}^{2{n_1}}*p_{i_2}^{2{n_2}}*\cdots*p_{i_m}^{2{n_m}}}$$
通项中的每一项均是\(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\ldots\)的其中一项且不存在重复。
反之后式的任意一项也可以表示为前者的通项，这根据算数基本定理：自然数可唯一质分解。